matematyka

Polska Szkoła Matematyczna

150 150 Zbigniew Wiekiera

Idea plakatu „Polska Szkoła Matematyczna” pojawiła się podczas studiowania Szkoły ateńskiej – fresku Rafaela Santi – i jej różnych wersji. Wykorzystując bowiem pomysł Rafaela, stworzono kilka adaptacji tego wspaniałego dzieła. W naszej wersji myślicieli, filozofów i matematyków starożytnych zastąpili matematycy polscy.

Okazją do realizacji pomysłu była setna rocznica założenia Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Otóż w 1919 roku szesnastu matematyków krakowskich postanowiło założyć stowarzyszenie nazwane najpierw Towarzystwem Matematycznym w Krakowie, po roku zmieniono jego nazwę na Polskie Towarzystwo Matematyczne. Wśród założycieli byli m.in. Stanisław Zaremba, Kazimierz Żorawski, Antoni Hoborski, a także młody Stefan Banach, rozpoczynający dopiero swoją karierę naukową.

 

Polska Szkoła Matematyczna – Biogramy

 

 

Egzamin Maturalny w formule 2023

150 150 Zbigniew Wiekiera

 

EGZAMIN MATURALNY W FORMULE 2023

 

Informatory o egzaminie maturalnym w Formule 2023

– Matematyka na poziomie podstawowym + wybrane wzory matematyczne:

Informator EM2023_matematyka_PP

Wybrane wzory matematyczne EM2023

– Matematyka na poziomie rozszerzonym + wybrane wzory matematyczne

Informator_EM2023_matematyka_PR

Wybrane wzory matematyczne EM2023

 

PODSTAWA PROGRAMOWA

Podstawa programowa – matematyka

Wybrane wzory matematyczne EM2023

Jagielloński Turniej Matematyczny

599 264 Zbigniew Wiekiera

Konkurs jest skierowany do licealistów z całej Polski. Składa się z trzech etapów, dwóch elektronicznych i stacjonarnego finału odbywającego się na  Wydziale Matematyki i Informatyki UJ w Krakowie. W I etapie uczestnicy mają miesiąc na rozwiązanie 20 zadań przypisanych do ich indywidualnego konta na stronie internetowej. II etap składa się  z 15 łatwiejszych zadań, na których rozwiązanie uczestnicy mają nie dłużej niż 24 godziny. Finał trwa dwa dni. Uczestnicy rozwiązują w nim zadania testowe i biorą udział w rozrywkowych mini zawodach.

Jagielloński Turniej Matematyczny (V)

Organizator: 

Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytetu Jagiellońskiego
ul Łojasiewicza 6, Kraków

Strona domowa konkursu

Strona konkursu na FB

Terminarz Turnieju:

I etap: 20 X – 20 XI 2021 r.
II etap: 19 XII 2021 r.
Finał: 5-6 III 2022 r.
(lub zdalnie)

 

Jagielloński Turniej Matematyczny – Regulamin 2021

Dyskalkulia

150 150 Arkadiusz

DYSLEKSJA,  DYSORTOGRAFIA,  DYSGRAFIA –
–  JAKBY  BYŁO  MAŁO!

 

Coraz częściej przyjmujemy do liceum uczniów z orzeczeniami z Poradni Psychologiczno-Pedagogicznej dotyczącymi problemów dysleksji (trudności z czytaniem), dysortografii (trudności w uczeniu się poprawnej polszczyzny) i dysgrafii (niewłaściwy poziom graficzny pisma). Trudności te nie są spowodowane wolniejszym rozwojem umysłowym czy brakiem inteligencji. Są to zaburzenia uczenia się, nad którymi trzeba pracować metodami psychopedagogicznymi.

Obok wyżej wymienionych istnieje jeszcze jedno – zaburzenie zdolności matematycznych, zwane dyskalkulią. Nie od dziś znamy dzieci, które mają mniejsze bądź większe kłopoty ze zrozumieniem matematyki. Jeśli dziecko zrazi się do tego przedmiotu już na początku swej drogi, to prawie natychmiast spowoduje to uzyskanie słabych ocen, co z kolei może doprowadzić do sytuacji lękowych, unikania zajęć, a nawet szkoły. Istotny, o ile nie najważniejszy, jest wczesny okres edukacji dziecka, poznawanie matematyki w szkole podstawowej, albo jeszcze w przedszkolu. Wiele zależy też od postawy nauczyciela. Oznaki trudności w uczeniu się matematyki powinny być zauważone u dziecka w wieku 4-6 lat, jako objawy dysharmonii rozwoju psychoruchowego. Później, w okresie szkolnym, tacy uczniowie mają problemy z odróżnianiem prawej i lewej strony/ ręki, z określaniem kierunku, zwrotu, położeniem przedmiotów względem siebie, nie są w stanie zapamiętać nazw miesięcy, liczb wielocyfrowych, a przede wszystkim tabliczki mnożenia. Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki nie potrafią sprostać wymaganiom, aby opanować podstawowe wiadomości i umiejętności.

Zaburzenie to występuje u około 6% populacji, najczęściej dotyczy dyslektyków, pięć razy częściej dotyka chłopców niż dziewcząt.

 

Jedną z pierwszych definicji dyskalkulii rozwojowej (obok pourazowej) podał w 1974 roku słowacki neuropsycholog L.Kosc.

Dyskalkulia rozwojowa jest strukturalnym zaburzeniem zdolności matematycznych, mających swe podłoże w zaburzeniach genetycznych i wrodzonych, tych części mózgu, które są bezpośrednim podłożem anatomiczno – fizjologicznym dojrzewania zdolności matematycznych odpowiednio do wieku, bez jednoczesnego zaburzenia ogólnych funkcji umysłowych.

 

Według Kosca wyróżnia się 6 typów dyskalkulii rozwojowej:

  • werbalnaproblem z oznaczaniem ilości i kolejności przedmiotów, nazywaniem liczebników, symboli, działań,
  • praktognostycznaproblem z porównywaniem wielkości, ilości, ułamków,
  • leksykalnanieumiejętność czytania symboli matematycznych np.: ułamków, pierwiastków, liczb wielocyfrowych,
  • graficznaniezdolność zapisywania ze słuchu symboli matematycznych,
  • ideognostycznaniezdolność zrozumienia pojęć i zależności matematycznych oraz wykonania obliczeń w pamięci,
  • operacyjnanieumiejętność wykonywania operacji matematycznych

Czynnikami utrudniającymi uczenie się matematyki mogą być:

  • patologia rodziny
  • złe warunki mieszkaniowe
  • częsta zmiana nauczyciela
  • wagary
  • zbyt liczne klasy – brak indywidualizacji nauczania
  • brak motywacji do nauki
  • za wysokie ambicje rodziców
  • dysleksja / dysortografia
  • nieśmiałość / nadpobudliwość (ADHD)
  • choroby przewlekłe

 

Oczywiście na naukę matematyki mają wpływ także zaburzenia różnych funkcji poznawczych dziecka:

  • brzydkie pismo (nieprecyzyjny zapis matematyczny),
  • powolne pisanie (nienadążanie z przepisywaniem z tablicy, wolne pisanie klasówek),
  • niezrozumienie treści zadania,
  • kłopoty z wykonywaniem obliczeń w pamięci,
  • niewłaściwe/częściowe odczytanie informacji z tabeli, wykresu, grafu, etc.,
  • pomyłki w zapisie, gubienie/mylenie cyfr,
  • trudności z zapamiętaniem wzorów,
  • niewłaściwa kolejność wykonywanych działań,
  • problemy z „widzeniem” przestrzennym.

 

Aby pomóc dziecku musimy tak prowadzić proces dydaktyczno – wychowawczy, by uczeń nie nabierał awersji do przedmiotu, budował poczucie własnej wartości i zaufania do siebie oraz nauczyciela. Takiemu uczniowi nie można za często wytykać błędów, należy ograniczyć ilość i zmniejszyć stopień trudności zadań, nagradzać za drobne sukcesy, pozwalać korzystać ze wzorów, nie wymagać wiernego odtworzenia definicji, wprowadzać różne techniki mnemotechniczne (kolory, mapy mentalne, symbole, skojarzenia). Przyjęcie zbyt wysokiego poziomu abstrakcji w nauczaniu matematyki, nazbyt duże wymagania formalne, a także za szybkie tempo prowadzenia zajęć potęgują trudności w przyswajaniu wiedzy przez uczniów z dyskalkulią.

          Od nas – nauczycieli – zależy przede wszystkim sposób prowadzenia zajęć, przedstawienia nowego pojęcia czy utrwalenia poznanego wcześniej materiału. Dysponujemy naprawdę szerokim wachlarzem środków dydaktycznych, metod i form pracy. Nie bójmy się, nawet w liceum, obstawiać ucznia w nowej dla niego roli oraz korzystać na lekcjach z metod aktywnych, które mogą być źródłem osiągana sukcesów! Rebusy, domina, krzyżówki, niejednokrotnie tworzone przez samych uczniów, z pewnością przyczynią się do zwiększenia zainteresowania, spotęgowania koncentracji czy ćwiczenia pamięci, bowiem to przede wszystkim poprzez zabawę aktywizują się  funkcje poznawcze oraz procesy myślowe.

 

 

         

Literatura:

  1. Kosc „Psychologia i psychopatologia zdolności matematycznych”, 1982
  2. Zięba „Dyskalkulia – zaburzenie zdolności matematycznych” opracowanie internetowe
  3. J.Bil „Dyskalkulia” opracowanie internetowe
  4. M.Grabarek „Dysleksja a matematyka” opracowanie internetowe
  5. K.Łukomska „Czym jest dyskalkulia?” opracowanie internetowe
  6. http:/www.dyskalkulia.pl
  7. Dysleksja i matematyka (I. O dyskalkulii)

 

 

mgr Edyta Madetko – Wanatowicz

Ciekawa matematyka

150 150 Arkadiusz

GWIAZDA PITAGOREJSKA

Umiłowaną figurą geometryczną pitagorejczyków był pentagram, zwany również gwiazdą pitagorejską. Jest to prawidłowy pięciokąt, którego boki przedłużone w obie strony tworzą pięciokąt gwiaździsty. Znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku.

Gwiazda pitagorejska posiada właściwości wyróżniające ją spośród innych gwiazd. Suma kątów wewnętrznych pentagramu równa jest kątowi półpełnemu (180°). Promienie gwiazdy pitagorejskiej „tworzą” trójkąty równoramienne z dwoma kątami u podstawy 72° i kątem przy wierzchołku równym 36°. Możemy doszukać się więc trójkątów podobnych, z których wynika, że długość odcinka a + b równa jest długości odcinka c.

Odcinek a + b jest przykładem złotej proporcji, czyli taki podział odcinka na dwie części, że większa część do mniejszej ma się tak samo jak całość do części wększej. Takie złote cięcia odnajdujemy we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej.

HISTORIA LICZB

30 000 p.n.e. Obecność nacięć numerycznych
3300 p.n.e Pierwsze cyfry w Sumerze i Elamie. Pojawienie hieroglifów egipskich – pierwsza numeracja pisma
2700 p.n.e Sumeryjckie cyfry klinowe
2600 p.n.e Pojawienie się cyfr egipskich
2000 p.n.e Pojawienie się bazy dziesiętnej
1800 p.n.e Numeracja babilońska – pierwsza numeracja pozycyjna
1300 p.n.e Pojawienie się cyfr chińskich
VI w. p.n.e Odkrycie wartości niewymiernych. Pitagoras
III w. p.n.e Grecka numeracja alfabetyczna
Pojawienie się zera w numeracji babilońskiej
II w. p.n.e Chińska numeracja pozycyjna bez zera
Pojawienie się cyfr brahmi – indyjskich
IV w. n.e Indyjska numeracja pozycyjna. Numeracja dziesiętna z zerem.
V w. n.e Numeracja pozycyjna Majów z zerem
VIII w. n.e Wprowadzenie indyjskiej dziesiętnej numeracji pozycyjnej i zera na ziemiach islamu.
XII w. Wprowadzenie znaku zero na Zachodzie
XIII w. Pojawia się pojęcie ciągu. Fibonacci
XV w. Cyfry indyjsko-arabskie uzyskują formę graficzną i rozpowszechniają się na Zachodzie
XVI w. Początki używania ułamków okresowych. Bombelli.
Bombelli i Cardan formuują pojęcie liczb zespolonych
1638 r. Sformuowanie pojęcia zbioru nieskończonego. Galileusz
1797 r. Gauss przedstawia liczby zespolone jako punkty na płaszczyĽnie
1820 r. Zostaje sformuowana moc zbioru. Bolzano
1825 r. Odkrycie liczb algebraicznych. Abel
1843 r. Odkrycie kwaternionów. Hamilton
1844 r. Odkrycie liczb przestępnych. Liouville

 

LICZBY

Co jest najmądrzejsze? Liczba.

Co jest najpiękniejsze? Harmonia.

Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią. 


To słynna sentencja wypowiedziana przez Pitagorasa. Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków. Ten poetycki werset pokazuje jak wielkie znaczenie przypisywano liczbie już w starożytności. Niektóre liczby, z którymi spotykamy się w różnych sytuacjach, mają zaskakujące właściwości i wprawiają nas w zadziwienie a nawet zachwyt.

 

 

Liczba zero
Liczba pi
Liczba e
Liczba i
Liczba złota
Liczby Fibonacciego
Liczby Lucasa
Liczby trójkątne
Liczby kwadratowe
Liczby doskonałe
Liczby zaprzyjaźnione
Liczby gnomiczne
Liczby palindromiczne
Liczby lustrzane
Liczby sfeniczne

 

Liczba zero

Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Liczbę i oznaczającą ją cyfrę zero wprowadzili Hindusi. Całość systemu pozycyjnego o podstawie 10, z dziesięcioma cyframi i metodami wykonywania działań została opisana przez Dżainistów w 458 roku. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który opisał je w 628 r. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich – stosowano łacińskie słowo nullae.

Nazwa „zero” o podobnym brzmieniu w większości języków europejskich pochodzi od arabskiego słowa „sifr” co oznacza pustka. W wydanej po raz pierwszy w 1202 roku „Liber abaci”, z której Europejczycy uczyli się liczyć, Leonardo z Pizy zwany Fibonacci używał odpowiednika „zephirum” dla arabskiego „sifr”. Słowo upraszczało się przez „zefiro” do „zero”, które weszło w użycie w V w.

Liczba Pi

Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości 5 łokci i o obwodzie 30 łokci. Biblia Tysiąclecia

π≈3,141592653589793238462643383279502884197169…

Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych – papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako (169)2≈3,160493… W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między 3+1071 i 3+17. Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.

Czym jest π? Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415… Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba?. Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się „byle jak”, nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.

Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa „peryferia„. Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularność liczba pi zawdzięcza występowaniu swoim we wzorach na pole koła czy objętości kuli,

Liczba e

Liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach aniżeli bardziej znana liczba pi. W starożytności nie znano jej, pojawiła się dopiero w XVI wieku za sprawą szkockiego matematyka Johna Napiera (Nepera), który ułożył tablice logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy bowiem wymyślono, aby zamienić mnożenie na dodawanie. Przez setki lat, cudowna własność logarytmów, dzięki której z pomocą tablic lub dwóch linijek z logarytmiczną skalą – można było dodawać zamiast mnożyć, ułatwiała astronomom życie. Dziś, w epoce komputerów, zastosowanie logarytmów do monożenia ma mniejsze znaczenie praktyczne.

Liczbę e definiujemy jako granicę e =limn→∞(1+1n)n 

Granica ta zbliża się do 2.718281828459045235360287…, liczby niewymiernej i niealgebraicznej. W 1873 roku Charles Hermite pokazał, że e jest przestępna.

Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera (Napera), oznaczenie „e” wprowadził w 1736 roku Leonhard Euler, który badał różne liczby i oznaczał je literami alfabetu. Na tę liczbą wypadło akurat e.

Występowanie liczby e:  Liczbę Napiera można spotkać w bankowości. Inwestując pewną sumę pieniędzy w banku na p% po roku zwiększamy jej wartość i tak dla zainwestowanej 1 złotówki mamy (1+p100) złotych. Po n latach wzrasta do (1+p100)n złotych. Mieliśmy szczęście i bankier zaproponował nam ogromną stopę procentową, sto procent. Zainwestowaliśmy więc wszystkie nasze oszczędności, oznaczmy je przez x. Po roku będziemy bogatsi, podwoimy nasz wkład, otrzymamy 2x. Jest jednak możliwość otrzymania swoich odsetek w dowolnym czasie i ponowne ich zainwestowanie. Jeśli odbierzemy odsetki po sześciu miesiącach i ponownie je zainwestujemy, to po roku otrzymamy               x(1 + 1/2)2 = 2,25x. Odbierając odsetki kwartalnie jeszcze bardziej zwiększamy nasz zysk, po roku mielibyśmy x(1 + 1/4)4 = 2,441x. Miesięczne pobieranie odsetek i ponowne inwestowanie wzbogaca nas jeszcze bardziej: x(1 + 1/12)12 = 2,5996x. Potem codziennie – znowu więcej, co minutę, sekundę – jeszcze więcej, jeszcze trochę i będziemy bogaci. Nic z tego, nasze procenty składane mogą się mnożyć, ale przy końcu otrzymamy dokładnie wartość liczby e czyli około 2,7182x.

Funkcję wykładniczą można odnaleźć w przyrodzie i w społeczeństwie, gdzie odwzorowuje rozwój rośliny, rozwój danej populacji. Ogólnie jeśli stopień rozwoju jest proporcjonalny do stanu rozwoju, to mamy do czynienia z funkcją wykładniczą.

Liczba i

Spróbujmy rozwiązać równanie x2 + 1 = 0. Jeśli ma ono rozwiązanie, musi być nim liczba, której kwadrat wynosi -1, ale kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest dodatni. Wydaje się więc, że brak jest rozwiązań tego równania. Jeśli chcemy, by mimo wszystko powyższe równanie miało jakieś rozwiązanie, trzeba wymyślić jakieś nowe liczby, których kwadrat byłby ujemny. Czy takie liczby mogą być „realne”? Mogą, pod warunkiem, że ich pojawienie się nie zagrozi bytów już istniejących.

Takie liczby zostały wprowadzone przez Kartezjusza w XVII wieku, choć wcześniej operował nimi już Girolamo Cardano. Tak powstał nowy byt matematyczny, którego nazwano imaginarius – liczby wyimaginowane, urojone. Zostały wprowadzone po to, by uzyskać kwadrat ujemny! W 1777 roku Leonhard Euler wprowadził symbol i, który oznacza jednostkę urojoną wynoszącą pierwiastek z minus jeden. I tym właśnie jest i – pierwiastkiem z minus jeden.

Liczba złota

Wielki astronom Kepler powiedział: 
Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi – podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny.

Φ=5√+12=1,6180339887498948482…

Znana zasada złotego podziału polega na tym, że dowolna całość do części większej ma się tak samo jak część większa do części mniejszej. Zależność ta jest wyrażana liczbą złotego podziału – Φ.

Jeśli założymy, że długość odcinka jest równa a, a długość pierwszej z dwóch części odcinka otrzymanych po podziale oznaczymy przez x, to długość drugiej części wynosi a – x. Wtedy to zachodzi równość:

ax =xax

Po zastosowaniu własności proporcji i uporządkowaniu otrzymujemy równanie: 
x2 + ax – a2 = 0, którego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba: x=a(5√−1)2 
Po podstawieniu w miejsce x do powyższej proporcji otrzymane rozwiązanie i po przeprowadzeniu kilku przekształceń algebraicznych otrzymujemy, że stosunek ax jak i stosunek xax jest taki sam i wynosi 5√+12

Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze.

Obecnie złoty podział jest też często stosowany, wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

własności: Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.

Liczby kwadratowe

Liczby kwadratowe są szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy „wypełnić kwadrat”.

Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem:
kn = n2 = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), 

gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych.

Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat
1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

 

n kn
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225
16 256
17 289
18 324
19 361
20 400
21 441
22 484
23 529
24 576
25 625
26 676
27 729
28 784
29 841
30 900
31 961
32 1024
33 1089
34 1156
35 1225
36 1296
37 1369
38 1444
39 1521
40 1600
41 1681
42 1764
43 1849
44 1936
45 2025
46 2116
47 2209
48 2304
49 2401
50 2500
51 2601
52 2704
53 2809
54 2916
55 3025
56 3136
57 3249
58 3364
59 3481
60 3600
61 3721
62 3844
63 3969
64 4096
65 4225
66 4356
67 4489
68 4624
69 4761
70 4900
71 5041
72 5184
73 5329
74 5476
75 5625
76 5776
77 5929
78 6084
79 6241
80 6400
81 6561
82 6724
83 6889
84 7056
85 7225
86 7396
87 7569
88 7744
89 7921
90 8100
91 8281
92 8464
93 8649
94 8836
95 9025
96 9216
97 9409
98 9604
99 9801
100 10000

 

 

Liczby doskonałe

Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e: 

Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.

Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.

Pierwsza liczba doskonała to 6.
D6 = { 1, 2, 3, 6 }
6 = 1 + 2 + 3

Druga liczba doskonała to 28. 
D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Te dwie liczby znane były w starożytności. Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat póĽniej. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. PóĽniej liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi.

Liczby trójkątne

Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej.

Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n – 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania?

Oznaczmy przez Tn liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tę nazwano liczbą trójkątną.

Liczba trójkątna jest sumą n  kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: Tn = n(n+1):2

Początkowe liczby trójkątne: 
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, …

Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.

Liczby palindromiczne

Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa.

Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to:    7, 57775, 626, 1111111…

Liczby lustrzane

Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem: 23 – 32;
5693 – 3965

Liczby sfeniczne

Liczby sfeniczne to liczby naturalne, które są iloczynem trzech różnych liczb pierwszych.

Wszystkie liczby sfeniczne mają dokładnie osiem dzielników, wynika to z stąd, że jeśli wyrazimy liczbę sfeniczną jako iloczyn liczb pierwszych n = p · q · r, wówczas zbiór dzielników liczby n  będzie równy: {1, pqrpqprqrn}. 
Poniżej zbiór początkowych liczb sfenicznych:

 

30 = 2 · 3 · 5 
42 = 2 · 3 · 7 
66 = 2 · 3 · 11 
70 = 2 · 5 · 7 
78 = 2 · 3 · 13 
102 = 2 · 3 · 17 
105 = 3 · 5 · 7 
110 = 2 · 5 · 11 
114 = 2 · 3 · 19 
130 = 2 · 5 · 13 
138 = 2 · 3 · 23 
154 = 2 · 7 · 11 
165 = 3 · 5 · 11 
170 = 2 · 5 · 17 
174 = 2 · 3 · 29 
182 = 2 · 7 · 13 
186 = 2 · 3 · 31 
190 = 2 · 5 · 19 
195 = 3 · 5 · 13 
222 = 2 · 3 · 37

 

mgr Edyta Madetko-Wanatowicz

SOFIZMATY & PARADOKSY

150 150 Arkadiusz

Sofizmaty

Poniżej przedstawione są pewne rozumowania, w konsekwencji których dochodzimy do sprzeczności. W każdym z tych rozumowań jest ukryty błąd, spróbuj go znaleźć.

Zero jest większe od każdej liczby

Weźmy dowolną liczbę i oznaczmy ją literą a. Prawdziwe jest zatem a – 1 < a. Mnożymy obie strony równości przez (-a) i otrzymujemy: –a2 + a = –a2. Dodajemy do obu stron nierówności a2, wówczas a < 0. Jak to?

 

Niepewny wynik

Oto równanie: x – 1 = 2
Mnożymy obie strony równania przez x – 5:
x2 – 6x + 5 = 2x – 10
Następnie odejmujemy od obu stron liczbę x – 7 i otrzymujemy
x2 – 7x + 12 = x – 3
Dzielimy obie strony przez x – 3:
x – 4 = 1
Teraz dodajemy do obu stron 4 i otrzymujemy, że x = 5, co jest oczywistym błędem. Rozumowanie zdawałoby się było prawidłowe, a jednak rezultat jest błędny. Dlaczego?

 

1 = 2

3 – 1 = 6 – 4
Obie strony równości mnożymy przez (-1)
1 – 3 = 4 – 6
Do obu stron równości dodajemy jednakowe liczby:
1−3+94=4−6+94
Obie strony równości można zapisać jako kwadrat dwóch różnic:
(1−32)2=(2−32)2
Wyciągamy pierwiastek drugiego stopnia z obu stron:
1−32=2−32
Do obu stron dodajemy tę samą liczbę – trzy drugie i otrzymujemy wówczas, że 1 = 2.

Jak to możliwe?

 

Paradoksy

Paradoks Achilles i żółw

Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala mu się oddalić o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu „ucieknie” pokonując 3/4+1/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie przegoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej. 

Jak wyjaśnić paradoks Zenona? W świecie rzeczywistym nie można dzielić odcinków w nieskończoność. Wszystkie zjawiska zachodzące w nim są ciągłe, a nie punktowe jak w ujęciu Zenona.

 

Paradoks Epimenidesa – kłamcy

Pewien człowiek twierdzi: ja zawsze kłamię. Jeśli zadamy sobie pytanie, czy jest on kłamcą czy też twierdzi prawdę dojdziemy niechybnie do sprzeczości. Jeśli kłamie, to stwierdzając ja zawsze kłamię wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie.

 

Paradoks fryzjera

W pewnym mieście jest fryzjer, który goli wszystkich mężczyzn, którzy nie golą się sami, natomiast nie goli tych mężczyzn, którzy golą się sami. Czy ów fryzjer goli się sam? Jeśli goli się sam, to nie może golić się sam, a jeśli należy do mężczyzn, którzy nie golą się sami, to goli się sam!

 

mgr Edyta Madetko-Wanatowicz

Światowy Dzień Liczby Pi

150 150 admin

Intryguje i zaciekawia od …zawsze. Zwią ją Ludolfiną. Jest „po prostu” stosunkiem obwodu koła do jego średnicy. Intryguje i zaciekawia nie tylko ludzi związanych z matematyką. Naszą noblistkę Wisławę Szymborską też zaciekawiła. Amerykanie stawiają jej pomniki, reżyserzy wykorzystują w różnych konotacjach. A oto ona………

 

3.

1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235
4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859
5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989
3809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151
5574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012
8583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912
9331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279
6782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210797509302955
3211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000
8164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333
4547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383
8279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863
0674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759009
9465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203
4962524517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978859597729754989301617539284681382
6868386894277415599185592524595395943104997252468084598727364469584865383673622262609912460805124388
4390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506
0168427394522674676788952521385225499546667278239864565961163548862305774564980355936345681743241125
1507606947945109659609402522887971089314566913686722874894056010150330861792868092087476091782493858
9009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364
5428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344
0374200731057853906219838744780847848968332144571386875194350643021845319104848100537061468067491927
8191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961
5679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215
0306803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856
1005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007
2305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116
7229109816909152801735067127485832228718352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412
6711136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535
8932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923
2332609729971208443357326548938239119325974636673058360414281388303203824903758985243744170291327656
1809377344403070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658
2131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396
6655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065987648611791045
3348850346113657686753249441668039626579787718556084552965412665408530614344431858676975145661406800
7002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332699390814546646458807972708266830
6343285878569830523580893306575740679545716377525420211495576158140025012622859413021647155097925923
0990796547376125517656751357517829666454779174501129961489030463994713296210734043751895735961458901
9389713111790429782856475032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571
8530614228813758504306332175182979866223717215916077166925474873898665494945011465406284336639379003
9769265672146385306736096571209180763832716641627488880078692560290228472104031721186082041900042296
6171196377921337575114959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386743513
6222247715891504953098444893330963408780769325993978054193414473774418426312986080998886874132604721
5695162396586457302163159819319516735381297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435
4037014163149658979409243237896907069779422362508221688957383798623001593776471651228935786015881617
5578297352334460428151262720373431465319777741603199066554187639792933441952154134189948544473456738
3162499341913181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332
3166636528619326686336062735676303544776280350450777235547105859548702790814356240145171806246436267

Obchody Dnia Liczby π w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach.
Czym są pliki Cookie

Ciasteczka (ang. cookies) to niewielkie pliki, zapisywane i przechowywane na twoim komputerze, tablecie lub smartphonie podczas gdy odwiedzasz różne strony w internecie. Ciasteczko zazwyczaj zawiera nazwę strony internetowej, z której pochodzi, „długość życia” ciasteczka (to znaczy czas jego istnienia), oraz przypadkowo wygenerowany unikalny numer służący do identyfikacji przeglądarki, z jakiej następuje połączenie ze stroną internetową.

Polityka plików Cookie

1. W związku z udostępnianiem zawartości serwisu internetowego korczak.edu.pl stosuje się tzw. cookies, tj. informacje zapisywane przez serwery na urządzeniu końcowym użytkownika, które serwery mogą odczytać przy każdorazowym połączeniu się z tego urządzenia końcowego, może także używać innych technologii o funkcjach podobnych lub tożsamych z cookies. W niniejszym dokumencie, informacje dotyczące cookies mają zastosowanie również do innych podobnych technologii stosowanych w ramach naszych serwisów internetowych. Pliki cookies (tzw. "ciasteczka") stanowią dane informatyczne, w szczególności pliki tekstowe, które przechowywane są w urządzeniu końcowym użytkownika serwisu internetowego korczak.edu.pl. Cookies zazwyczaj zawierają nazwę domeny serwisu internetowego, z którego pochodzą, czas przechowywania ich na urządzeniu końcowym oraz unikalny numer.

2. Pliki cookies wykorzystywane są w celu:

Dostosowania zawartości stron serwisu internetowego do preferencji użytkownika oraz optymalizacji korzystania ze stron internetowych; w szczególności pliki te pozwalają rozpoznać urządzenie użytkownika serwisu internetowego i odpowiednio wyświetlić stronę internetową, dostosowaną do jego indywidualnych potrzeb, tworzenia statystyk, które pomagają zrozumieć, w jaki sposób użytkownicy serwisu korzystają ze stron internetowych, co umożliwia ulepszanie ich struktury i zawartości, utrzymania sesji użytkownika serwisu internetowego (po zalogowaniu), dzięki której użytkownik nie musi na każdej podstronie serwisu ponownie wpisywać loginu i hasła, dostarczania użytkownikom treści reklamowych bardziej dostosowanych do ich zainteresowań.

3. W ramach serwisu internetowego możemy stosować następujące rodzaje plików cookies:

"niezbędne" pliki cookies, umożliwiające korzystanie z usług dostępnych w ramach serwisu internetowego, np. uwierzytelniające pliki cookies wykorzystywane do usług wymagających uwierzytelniania w ramach serwisu,
pliki cookies służące do zapewnienia bezpieczeństwa, np. wykorzystywane do wykrywania nadużyć w zakresie uwierzytelniania w ramach serwisu, pliki cookies, umożliwiające zbieranie informacji o sposobie korzystania ze stron internetowych serwisu, "funkcjonalne" pliki cookies, umożliwiające "zapamiętanie" wybranych przez użytkownika ustawień i personalizację interfejsu użytkownika, np. w zakresie wybranego języka lub regionu, z którego pochodzi użytkownik, rozmiaru czcionki, wyglądu strony internetowej itp., "reklamowe" pliki cookies, umożliwiające dostarczanie użytkownikom treści reklamowych bardziej dostosowanych do ich zainteresowań.

4. W wielu przypadkach oprogramowanie służące do przeglądania stron internetowych (przeglądarka internetowa) domyślnie dopuszcza przechowywanie plików cookies w urządzeniu końcowym użytkownika. Użytkownicy serwisu mogą dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących plików cookies. Ustawienia te mogą zostać zmienione w szczególności w taki sposób, aby blokować automatyczną obsługę plików cookies w ustawieniach przeglądarki internetowej bądź informować o ich każdorazowym zamieszczeniu w urządzeniu użytkownika serwisu internetowego. Szczegółowe informacje o możliwości i sposobach obsługi plików cookies dostępne są w ustawieniach oprogramowania (przeglądarki internetowej). Niedokonanie zmiany ustawień w zakresie cookies oznacza, że będą one zamieszczone w urządzeniu końcowym użytkownika, a tym samym będziemy przechowywać informacje w urządzeniu końcowym użytkownika i uzyskiwać dostęp do tych informacji.

5. Wyłączenie stosowania cookies może spowodować utrudnienia korzystanie z niektórych usług w ramach naszych serwisów internetowych, w szczególności wymagających logowania. Wyłączenie opcji przyjmowania cookies nie powoduje natomiast braku możliwości czytania lub oglądania treści zamieszczanych w serwisie internetowym korczak.edu.pl z zastrzeżeniem tych, do których dostęp wymaga logowania.

6. Pliki cookies mogą być zamieszczane w urządzeniu końcowym użytkownika serwisu internetowego korczak.edu.pl, a następnie wykorzystywane przez współpracujących z serwisem reklamodawców, firmy badawcze oraz dostawców aplikacji multimedialnych.
Ta strona używa plików Cookies. Dowiedz się więcej o celu ich używania i możliwości zmiany ustawień Cookies w przeglądarce.