matematyka

Klasa Aksjomatów

1024 768 Arkadiusz

Matematyka jest sztuką wyciągania wniosków z założeń. Jeżeli chcesz poznać tajniki matematyczne, lubisz podejmować wyzwania logiczne, chcesz zagłębić się w świat fizyki korzystając z technologii informatycznych to klasa AKSJOMATÓW jest właśnie dla Ciebie. Pamiętajcie!!! „Żadne ludzkie badania nie mogą być nazywane nauką, jeśli nie mogą być zademonstrowane matematycznie”. Leonardo da Vinci

 

Zagłębiowski konkurs matematyczny

150 150 admin

REGULAMIN

XIX ZAGŁĘBIOWSKIEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO

 

  1. Konkurs odbędzie się 12 marca 2020 roku o godzinie 10,00 w ramach obchodów Święta Liczby Pi w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Śląskiego.
     
  2. Do udziału w konkursie zapraszamy 2-osobowe zespoły uczniów klas I szkół ponadgimnazjalnych i ponadpodstawowych realizujących zakres podstawowy z matematyki.
     
  3. Drużyny rozwiązując te same zadania będą rywalizowały osobno na poziomie klas I po gimnazjum i po szkole podstawowej.
     
  4. Szkoła może być reprezentowana maksymalnie przez 4 zespoły.
     
  5. Drużyny będą rozwiązywały zadania w czterech, ograniczonych czasowo seriach. W trzech pierwszych seriach będzie 8 zadań, w czwartej 4 zadania. W każdej serii będzie co najmniej jedna (maksymalnie dwie) zagadki logiczne. W drugiej serii pojawi się Sudoku.
     
  6. O przejściu drużyny do następnej serii decyduje zdobyta ilość punktów we wcześniejszej serii. Limity „przejścia” ustala komisja konkursowa. Komisję konkursową tworzą nauczyciele matematyki, opiekunowie drużyn biorących udział w konkursie. Zwycięża drużyna, która w ostatniej serii uzyska największą ilość punktów. W przypadku uzyskania tej samej ilości punktów w czwartej serii o zwycięstwie decyduje suma punktów uzyskana w całym konkursie. Jeśli sumy będą takie same, drużyny będą rozwiązywać zadania dodatkowe, w których oprócz poprawności będzie się liczył czas odpowiedzi.
     
  7. Z okazji ustanowienia przez Senat roku 2020 rokiem Jana Kowalewskiego (podpułkownika W. P., matematyka, lingwisty i kryptologa), w każdej serii pojawi się co najmniej jedno (maksymalnie dwa) pytania dotyczące J. Kowalewskiego oraz jego udziale w wojnie polsko-bolszewickiej 1920 roku. Wiedza nie będzie wykraczać poza informacje zawarte w życiorysie podpułkownika na Wikipedii oraz w artykule prof. Nowika pod tytułem „Wojna polsko-bolszewicka” umieszczonym na stronie www.dzieje.pl
     
  8. Zadania rozwiązywane podczas konkursu będą obejmowały następujące treści:
    – własności liczb, działania w zbiorze liczb rzeczywistych;
    – własności figur płaskich;
    – wzory skróconego mnożenia;
    – procenty, działania na procentach;
    – działania na potęgach, logarytmy;
    – równania, nierówności liniowe, układy równań liniowych, równania i nierówności z wartością bezwzględną
     
  9. Warunkiem przystąpienia szkoły do konkursu jest udział co najmniej jednego nauczyciela w pracach jury.
     
  10. Termin zgłoszenia 2-osobowych zespołów i nazwiska nauczyciela, który będzie jurorem podczas konkursu upływa 6 marca 2019 . Zgłoszenia i pytania dotyczące konkursu można wysyłać na adres barbarajastrzebska0@gmail.com
     
  11. Organizatorem konkursu jest VI Liceum Ogólnokształcące im. Janusza Korczaka w Sosnowcu, ul. Zamenhofa 15, (32) 291 87 02, mail lo6@sosnowiec.edu.pl

Noworoczny konkurs matematyczny dla uczniów klas pierwszych

150 150 admin

Noworoczny, coroczny konkurs matematyczny dla uczniów pierwszych klas Korczaka za nami.

W konkursie wzięło udział 12 matematycznych duetów z klas I b, c, d, e. Uczestnicy rozwiązali 16 zadań (zamkniętych, typu prawda/fałsz, „na kartach”, otwartych). Ważne były umiejętności i czas rozwiązania zadań. Zwycięzcami są wszyscy, ale……najlepiej spisała się para z IC – Wiktoria Gała i Bartosz Krzan.

KONSPEKT  LEKCJI  MATEMATYKI

150 150 Arkadiusz

OPRACOWANIE I PROWADZENIE  –  mgr  Edyta  Madetko – Wanatowicz

TEMAT  –  POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI ZE STATYSTYKI

 

CELE

    Po zakończeniu lekcji uczeń powinien umieć:

  • Zaprezentować dane z tabeli na wykresie słupkowym, liniowym i kołowym
  • Policzyć średnią arytmetyczną, medianę, dominantę, kwartyl dolny i górny
  • Dopasować wykres do tabeli z danymi
  • Odczytać dane z diagramów pudełkowych
  • Policzyć średnią ważoną
  • Policzyć odchylenie standardowe i wyciągnąć wnioski

 

METODY

  • ćwiczenia praktyczne
  • pogadanka

 ŚRODKI

  • przygotowane zestawy zadań
  • karty odpowiedzi
  • wykresy i tabele

 FORMY

  • praca indywidualna, w tym zróżnicowana
  • praca grupowa ( pary oraz grupy 6-osobowe)
  • praca zbiorowa

 

PRZEBIEG

  1. FAZA WSTĘPNA
    • Zapisanie tematu
    • Sprawdzenie obecności uczniów
    • Przedstawienie celów lekcji
    • Przedstawienie formy pracy na lekcji, podział na grupy
  2. FAZA GŁÓWNA – załącznik
  3. FAZA KOŃCOWA
  • Samoocena uczniów – sprawdzenie poziomu osiągnięć celów
  • Zadanie domowe

 

MATEMATYKA  W  DZISIEJSZYCH  CZASACH

150 150 Arkadiusz

MATEMATYKA  W  DZISIEJSZYCH  CZASACH
wywiad z panią profesor mgr Edytą Madetko – Wanatowicz

 

        Jest Pani nauczycielką matematyki w VI Liceum Ogólnokształcącym im. Janusza Korczaka w Sosnowcu. Zajmuje się Pani nauczaniem zarówno licealistów jak i gimnazjalistów.

Jak długo uczy Pani matematyki ?

W tym roku minęło już 20 lat…

Skąd pomysł na nauczanie matematyki ?

Matematyka nigdy nie przysparzała mi problemów, lubiłam ten przedmiot. W „Staszicu” miałam fantastycznego nauczyciela, wręcz pasjonata matmy – profesora Rauka. Wzbudzał ogólny respekt, jednocześnie potrafił zaszczepić w niektórych miłość do cyferek. Pokazywał różne triki, zaskakiwał nas sprytem, doskonałą pamięcią. Był niezwykłą osobowością. Staram się go naśladować… Do wyboru zawodu przyczyniła się też namowa moich przyjaciół – zawsze mówili, że dobrze tłumaczę. W liceum byłam w klasie humanistycznej z fakultetem biologicznym w klasie trzeciej i miałam różne pomysły na „siebie”- weterynaria, francuski, prawo, wf. W klasie czwartej zmieniłam fakultet na matematyczny, bardzo dużo pracowałam. Zawsze lubiłam dyscyplinę i porządek, dlatego też zdawałam do Wojskowej Wyższej Szkoły Morskiej. No a tam była potrzebna matematyka.  Ostatecznie jednak podjęłam się studiowania stricte matematyki na AP w Krakowie.

Żałowała kiedyś Pani swojej decyzji dotyczącej wyboru zawodu ?

Samej decyzji nie, bowiem uwielbiam pracę z młodymi ludźmi. Choć gdybym jeszcze raz stanęła przed takim wyborem, to pewno byłby to AWF (w młodości trenowałam lekkoatletykę). Nie ukrywam, że po części spełniłam swoje marzenia i mam skończone studia instruktorskie (fitness i joga) na katowickim AWF, ale nie daje mi to możliwości nauczania wf w szkole.

Dzisiaj nauczyciel, to trudny zawód. Musi on ogromnie dużo wysiłku wkładać w budowanie swojego autorytetu, wielokrotnie jest w tym sam, bo często zapracowani rodzice i nie mający czasu dla swoich pociech, by się usprawiedliwić (chyba przed samym sobą) atakują nauczycieli, winią ich za niepowodzenia swoich dzieci i w moim odczuciu, częściej niż kiedyś, są przez podopiecznych manipulowani. Poza tym od nauczyciela wymaga się nie tylko, by nauczał swojego przedmiotu, ale też był co najmniej dobrym specjalistą ds. Public Relations, świetnym organizatorem wycieczek, imprez kulturalnych, współpracował z różnymi instytucjami, dogłębnie znał i stosował zasady pomocy psychologiczno-pedagogicznej itd. Tego naprawdę jest dużo. A gdy ma się już trochę więcej lat i rodzinę, to zaczynasz patrzeć na wykonywaną pracę przez pryzmat zarobków. A tu niestety nadal pozostaje wiele do życzenia…

 

Najwyższa Izba Kontroli po zbadaniu nauczania matematyki w szkołach oceniła, że pozostawia ono wiele do życzenia. Świadczą o tym – według Izby osiągane przez uczniów wyniki. Jaka jest Pani opinia na ten temat ?

 

Według mnie, coś złego dzieje się na niższym etapie edukacyjnym, szczególnie w klasach 4-6 szkoły podstawowej. Nie wiem dlaczego. Nie mam też w tym zakresie dużego doświadczenia, pracuję tak naprawdę tylko z moimi synami. Pokazuję im poprzez zabawę, że matematyka jest ciekawa, zaskakująca, dziwna, „nieskończona”, znam jakieś sztuczki, wiele sama wypracowałam. Oni matmę lubią, ale mają mnie i jest im trochę łatwiej. W szkołach wciąż brakuje godzin na realizację przeładowanego materiału, klasy są liczne, to nie sprzyja pracy. Nikt „na górze” tego nie widzi. Wciąż polscy uczniowie  muszą znać historię USA, budowę eugleny, III prawo Keplera, własności kwasu stearynowego etc. Z matematyką jest podobnie. Jak masz coś polubić, jeśli tego nie rozumiesz, jeśli już trzeba przejść do kolejnego tematu, a na domiar złego przecież już nie jesteś w podstawówce i nie musisz wiedzieć jak się dodaje ułamki czy oblicza nieszczęsne procenty!? To było tak dawno… I zapewne nie na tyle utrwalone, by teraz się do tego odwołać. Sądzę, że wiele problemów z matematyką wynika też z tego, że w dzisiejszych czasach dzieci i młodzież szczególnie, mało czytają, wobec tego nie rozwijają swojej wyobraźni, nie widzą przestrzennie. Dziś nawet nie ma zawodów w biegach na orientację… jest przecież GPS no i zawsze z pomocą przyleci Wujek Google. To jest smutne.

 Co sądzi Pani na temat propozycji zawieszenia egzaminu maturalnego z matematyki ?

Matematyka naprawdę jest obecna w naszym życiu. Dlatego też dobrze by było ją umieć. Ucząc się jej nabywamy umiejętności logicznego myślenia czy też dobrego argumentowania. Jednakże zakres materiału mógłby być bardziej okrojony – w końcu i tak zdecydowana większość zapomni jak się liczy deltę. Czy matematyka na maturze??? Wiem, pogrzebią mnie żywcem, ale mówię TAK!

Ma Pani może jakieś rady dla uczniów zmagających się już w kwietniu z matematyką na egzaminie gimnazjalnym, a w maju na maturze ?

Systematyczność, systematyczność i jeszcze raz systematyczność. Matematyka to rzemiosło. Co do rad – na samym egzaminie, przede wszystkim rób to co umiesz, a potem wrócić do zadań problemowych – zaleca profesor Madetko. Czasem odrobina dobrego stresu może zdziałać cudaJ

Co Panią najbardziej denerwuje w uczniach, a co Pani w nich ceni ?

Denerwuje mnie brak uczciwości oraz systematyczności. Uczeń, który nie umie prawie zawsze dopatruje winy w nauczycielu. Człowiek dorosły, to człowiek odpowiedzialny! W liceum oczekuję takich ludzi. Cenię natomiast pracowitość, dokładność, zaangażowanie, wszelkie starania. Kocham ich poczucie humoru, ich opowieści z imprez, ich beztroską młodość i radość z życia. Czerpię z tego ogromną energię i to sprawia, że wierzę w sens tego, co robię. Lubię, jak młodzi ludzie są aktywni i żyją z pasją!

 

Dziękujemy Pani za rozmowę i życzymy dalszych sukcesów w zawodzie.

 

Dyskalkulia

150 150 Arkadiusz

DYSLEKSJA,  DYSORTOGRAFIA,  DYSGRAFIA –
–  JAKBY  BYŁO  MAŁO!

 

Coraz częściej przyjmujemy do liceum uczniów z orzeczeniami z Poradni Psychologiczno-Pedagogicznej dotyczącymi problemów dysleksji (trudności z czytaniem), dysortografii (trudności w uczeniu się poprawnej polszczyzny) i dysgrafii (niewłaściwy poziom graficzny pisma). Trudności te nie są spowodowane wolniejszym rozwojem umysłowym czy brakiem inteligencji. Są to zaburzenia uczenia się, nad którymi trzeba pracować metodami psychopedagogicznymi.

Obok wyżej wymienionych istnieje jeszcze jedno – zaburzenie zdolności matematycznych, zwane dyskalkulią. Nie od dziś znamy dzieci, które mają mniejsze bądź większe kłopoty ze zrozumieniem matematyki. Jeśli dziecko zrazi się do tego przedmiotu już na początku swej drogi, to prawie natychmiast spowoduje to uzyskanie słabych ocen, co z kolei może doprowadzić do sytuacji lękowych, unikania zajęć, a nawet szkoły. Istotny, o ile nie najważniejszy, jest wczesny okres edukacji dziecka, poznawanie matematyki w szkole podstawowej, albo jeszcze w przedszkolu. Wiele zależy też od postawy nauczyciela. Oznaki trudności w uczeniu się matematyki powinny być zauważone u dziecka w wieku 4-6 lat, jako objawy dysharmonii rozwoju psychoruchowego. Później, w okresie szkolnym, tacy uczniowie mają problemy z odróżnianiem prawej i lewej strony/ ręki, z określaniem kierunku, zwrotu, położeniem przedmiotów względem siebie, nie są w stanie zapamiętać nazw miesięcy, liczb wielocyfrowych, a przede wszystkim tabliczki mnożenia. Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki nie potrafią sprostać wymaganiom, aby opanować podstawowe wiadomości i umiejętności.

Zaburzenie to występuje u około 6% populacji, najczęściej dotyczy dyslektyków, pięć razy częściej dotyka chłopców niż dziewcząt.

 

Jedną z pierwszych definicji dyskalkulii rozwojowej (obok pourazowej) podał w 1974 roku słowacki neuropsycholog L.Kosc.

Dyskalkulia rozwojowa jest strukturalnym zaburzeniem zdolności matematycznych, mających swe podłoże w zaburzeniach genetycznych i wrodzonych, tych części mózgu, które są bezpośrednim podłożem anatomiczno – fizjologicznym dojrzewania zdolności matematycznych odpowiednio do wieku, bez jednoczesnego zaburzenia ogólnych funkcji umysłowych.

 

Według Kosca wyróżnia się 6 typów dyskalkulii rozwojowej:

  • werbalnaproblem z oznaczaniem ilości i kolejności przedmiotów, nazywaniem liczebników, symboli, działań,
  • praktognostycznaproblem z porównywaniem wielkości, ilości, ułamków,
  • leksykalnanieumiejętność czytania symboli matematycznych np.: ułamków, pierwiastków, liczb wielocyfrowych,
  • graficznaniezdolność zapisywania ze słuchu symboli matematycznych,
  • ideognostycznaniezdolność zrozumienia pojęć i zależności matematycznych oraz wykonania obliczeń w pamięci,
  • operacyjnanieumiejętność wykonywania operacji matematycznych

Czynnikami utrudniającymi uczenie się matematyki mogą być:

  • patologia rodziny
  • złe warunki mieszkaniowe
  • częsta zmiana nauczyciela
  • wagary
  • zbyt liczne klasy – brak indywidualizacji nauczania
  • brak motywacji do nauki
  • za wysokie ambicje rodziców
  • dysleksja / dysortografia
  • nieśmiałość / nadpobudliwość (ADHD)
  • choroby przewlekłe

 

Oczywiście na naukę matematyki mają wpływ także zaburzenia różnych funkcji poznawczych dziecka:

  • brzydkie pismo (nieprecyzyjny zapis matematyczny),
  • powolne pisanie (nienadążanie z przepisywaniem z tablicy, wolne pisanie klasówek),
  • niezrozumienie treści zadania,
  • kłopoty z wykonywaniem obliczeń w pamięci,
  • niewłaściwe/częściowe odczytanie informacji z tabeli, wykresu, grafu, etc.,
  • pomyłki w zapisie, gubienie/mylenie cyfr,
  • trudności z zapamiętaniem wzorów,
  • niewłaściwa kolejność wykonywanych działań,
  • problemy z „widzeniem” przestrzennym.

 

Aby pomóc dziecku musimy tak prowadzić proces dydaktyczno – wychowawczy, by uczeń nie nabierał awersji do przedmiotu, budował poczucie własnej wartości i zaufania do siebie oraz nauczyciela. Takiemu uczniowi nie można za często wytykać błędów, należy ograniczyć ilość i zmniejszyć stopień trudności zadań, nagradzać za drobne sukcesy, pozwalać korzystać ze wzorów, nie wymagać wiernego odtworzenia definicji, wprowadzać różne techniki mnemotechniczne (kolory, mapy mentalne, symbole, skojarzenia). Przyjęcie zbyt wysokiego poziomu abstrakcji w nauczaniu matematyki, nazbyt duże wymagania formalne, a także za szybkie tempo prowadzenia zajęć potęgują trudności w przyswajaniu wiedzy przez uczniów z dyskalkulią.

          Od nas – nauczycieli – zależy przede wszystkim sposób prowadzenia zajęć, przedstawienia nowego pojęcia czy utrwalenia poznanego wcześniej materiału. Dysponujemy naprawdę szerokim wachlarzem środków dydaktycznych, metod i form pracy. Nie bójmy się, nawet w liceum, obstawiać ucznia w nowej dla niego roli oraz korzystać na lekcjach z metod aktywnych, które mogą być źródłem osiągana sukcesów! Rebusy, domina, krzyżówki, niejednokrotnie tworzone przez samych uczniów, z pewnością przyczynią się do zwiększenia zainteresowania, spotęgowania koncentracji czy ćwiczenia pamięci, bowiem to przede wszystkim poprzez zabawę aktywizują się  funkcje poznawcze oraz procesy myślowe.

 

 

         

Literatura:

  1. Kosc „Psychologia i psychopatologia zdolności matematycznych”, 1982
  2. Zięba „Dyskalkulia – zaburzenie zdolności matematycznych” opracowanie internetowe
  3. J.Bil „Dyskalkulia” opracowanie internetowe
  4. M.Grabarek „Dysleksja a matematyka” opracowanie internetowe
  5. K.Łukomska „Czym jest dyskalkulia?” opracowanie internetowe
  6. http:/www.dyskalkulia.pl
  7. Dysleksja i matematyka (I. O dyskalkulii)

 

 

mgr Edyta Madetko – Wanatowicz

Ciekawa matematyka

150 150 Arkadiusz

GWIAZDA PITAGOREJSKA

Umiłowaną figurą geometryczną pitagorejczyków był pentagram, zwany również gwiazdą pitagorejską. Jest to prawidłowy pięciokąt, którego boki przedłużone w obie strony tworzą pięciokąt gwiaździsty. Znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku.

Gwiazda pitagorejska posiada właściwości wyróżniające ją spośród innych gwiazd. Suma kątów wewnętrznych pentagramu równa jest kątowi półpełnemu (180°). Promienie gwiazdy pitagorejskiej „tworzą” trójkąty równoramienne z dwoma kątami u podstawy 72° i kątem przy wierzchołku równym 36°. Możemy doszukać się więc trójkątów podobnych, z których wynika, że długość odcinka a + b równa jest długości odcinka c.

Odcinek a + b jest przykładem złotej proporcji, czyli taki podział odcinka na dwie części, że większa część do mniejszej ma się tak samo jak całość do części wększej. Takie złote cięcia odnajdujemy we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej.

HISTORIA LICZB

30 000 p.n.e. Obecność nacięć numerycznych
3300 p.n.e Pierwsze cyfry w Sumerze i Elamie. Pojawienie hieroglifów egipskich – pierwsza numeracja pisma
2700 p.n.e Sumeryjckie cyfry klinowe
2600 p.n.e Pojawienie się cyfr egipskich
2000 p.n.e Pojawienie się bazy dziesiętnej
1800 p.n.e Numeracja babilońska – pierwsza numeracja pozycyjna
1300 p.n.e Pojawienie się cyfr chińskich
VI w. p.n.e Odkrycie wartości niewymiernych. Pitagoras
III w. p.n.e Grecka numeracja alfabetyczna
Pojawienie się zera w numeracji babilońskiej
II w. p.n.e Chińska numeracja pozycyjna bez zera
Pojawienie się cyfr brahmi – indyjskich
IV w. n.e Indyjska numeracja pozycyjna. Numeracja dziesiętna z zerem.
V w. n.e Numeracja pozycyjna Majów z zerem
VIII w. n.e Wprowadzenie indyjskiej dziesiętnej numeracji pozycyjnej i zera na ziemiach islamu.
XII w. Wprowadzenie znaku zero na Zachodzie
XIII w. Pojawia się pojęcie ciągu. Fibonacci
XV w. Cyfry indyjsko-arabskie uzyskują formę graficzną i rozpowszechniają się na Zachodzie
XVI w. Początki używania ułamków okresowych. Bombelli.
Bombelli i Cardan formuują pojęcie liczb zespolonych
1638 r. Sformuowanie pojęcia zbioru nieskończonego. Galileusz
1797 r. Gauss przedstawia liczby zespolone jako punkty na płaszczyĽnie
1820 r. Zostaje sformuowana moc zbioru. Bolzano
1825 r. Odkrycie liczb algebraicznych. Abel
1843 r. Odkrycie kwaternionów. Hamilton
1844 r. Odkrycie liczb przestępnych. Liouville

 

LICZBY

Co jest najmądrzejsze? Liczba.

Co jest najpiękniejsze? Harmonia.

Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią. 


To słynna sentencja wypowiedziana przez Pitagorasa. Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków. Ten poetycki werset pokazuje jak wielkie znaczenie przypisywano liczbie już w starożytności. Niektóre liczby, z którymi spotykamy się w różnych sytuacjach, mają zaskakujące właściwości i wprawiają nas w zadziwienie a nawet zachwyt.

 

 

Liczba zero
Liczba pi
Liczba e
Liczba i
Liczba złota
Liczby Fibonacciego
Liczby Lucasa
Liczby trójkątne
Liczby kwadratowe
Liczby doskonałe
Liczby zaprzyjaźnione
Liczby gnomiczne
Liczby palindromiczne
Liczby lustrzane
Liczby sfeniczne

 

Liczba zero

Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Liczbę i oznaczającą ją cyfrę zero wprowadzili Hindusi. Całość systemu pozycyjnego o podstawie 10, z dziesięcioma cyframi i metodami wykonywania działań została opisana przez Dżainistów w 458 roku. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który opisał je w 628 r. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich – stosowano łacińskie słowo nullae.

Nazwa „zero” o podobnym brzmieniu w większości języków europejskich pochodzi od arabskiego słowa „sifr” co oznacza pustka. W wydanej po raz pierwszy w 1202 roku „Liber abaci”, z której Europejczycy uczyli się liczyć, Leonardo z Pizy zwany Fibonacci używał odpowiednika „zephirum” dla arabskiego „sifr”. Słowo upraszczało się przez „zefiro” do „zero”, które weszło w użycie w V w.

Liczba Pi

Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości 5 łokci i o obwodzie 30 łokci. Biblia Tysiąclecia

π≈3,141592653589793238462643383279502884197169…

Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych – papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako (169)2≈3,160493… W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między 3+1071 i 3+17. Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.

Czym jest π? Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415… Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba?. Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się „byle jak”, nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.

Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa „peryferia„. Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularność liczba pi zawdzięcza występowaniu swoim we wzorach na pole koła czy objętości kuli,

Liczba e

Liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach aniżeli bardziej znana liczba pi. W starożytności nie znano jej, pojawiła się dopiero w XVI wieku za sprawą szkockiego matematyka Johna Napiera (Nepera), który ułożył tablice logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy bowiem wymyślono, aby zamienić mnożenie na dodawanie. Przez setki lat, cudowna własność logarytmów, dzięki której z pomocą tablic lub dwóch linijek z logarytmiczną skalą – można było dodawać zamiast mnożyć, ułatwiała astronomom życie. Dziś, w epoce komputerów, zastosowanie logarytmów do monożenia ma mniejsze znaczenie praktyczne.

Liczbę e definiujemy jako granicę e =limn→∞(1+1n)n 

Granica ta zbliża się do 2.718281828459045235360287…, liczby niewymiernej i niealgebraicznej. W 1873 roku Charles Hermite pokazał, że e jest przestępna.

Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera (Napera), oznaczenie „e” wprowadził w 1736 roku Leonhard Euler, który badał różne liczby i oznaczał je literami alfabetu. Na tę liczbą wypadło akurat e.

Występowanie liczby e:  Liczbę Napiera można spotkać w bankowości. Inwestując pewną sumę pieniędzy w banku na p% po roku zwiększamy jej wartość i tak dla zainwestowanej 1 złotówki mamy (1+p100) złotych. Po n latach wzrasta do (1+p100)n złotych. Mieliśmy szczęście i bankier zaproponował nam ogromną stopę procentową, sto procent. Zainwestowaliśmy więc wszystkie nasze oszczędności, oznaczmy je przez x. Po roku będziemy bogatsi, podwoimy nasz wkład, otrzymamy 2x. Jest jednak możliwość otrzymania swoich odsetek w dowolnym czasie i ponowne ich zainwestowanie. Jeśli odbierzemy odsetki po sześciu miesiącach i ponownie je zainwestujemy, to po roku otrzymamy               x(1 + 1/2)2 = 2,25x. Odbierając odsetki kwartalnie jeszcze bardziej zwiększamy nasz zysk, po roku mielibyśmy x(1 + 1/4)4 = 2,441x. Miesięczne pobieranie odsetek i ponowne inwestowanie wzbogaca nas jeszcze bardziej: x(1 + 1/12)12 = 2,5996x. Potem codziennie – znowu więcej, co minutę, sekundę – jeszcze więcej, jeszcze trochę i będziemy bogaci. Nic z tego, nasze procenty składane mogą się mnożyć, ale przy końcu otrzymamy dokładnie wartość liczby e czyli około 2,7182x.

Funkcję wykładniczą można odnaleźć w przyrodzie i w społeczeństwie, gdzie odwzorowuje rozwój rośliny, rozwój danej populacji. Ogólnie jeśli stopień rozwoju jest proporcjonalny do stanu rozwoju, to mamy do czynienia z funkcją wykładniczą.

Liczba i

Spróbujmy rozwiązać równanie x2 + 1 = 0. Jeśli ma ono rozwiązanie, musi być nim liczba, której kwadrat wynosi -1, ale kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest dodatni. Wydaje się więc, że brak jest rozwiązań tego równania. Jeśli chcemy, by mimo wszystko powyższe równanie miało jakieś rozwiązanie, trzeba wymyślić jakieś nowe liczby, których kwadrat byłby ujemny. Czy takie liczby mogą być „realne”? Mogą, pod warunkiem, że ich pojawienie się nie zagrozi bytów już istniejących.

Takie liczby zostały wprowadzone przez Kartezjusza w XVII wieku, choć wcześniej operował nimi już Girolamo Cardano. Tak powstał nowy byt matematyczny, którego nazwano imaginarius – liczby wyimaginowane, urojone. Zostały wprowadzone po to, by uzyskać kwadrat ujemny! W 1777 roku Leonhard Euler wprowadził symbol i, który oznacza jednostkę urojoną wynoszącą pierwiastek z minus jeden. I tym właśnie jest i – pierwiastkiem z minus jeden.

Liczba złota

Wielki astronom Kepler powiedział: 
Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi – podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny.

Φ=5√+12=1,6180339887498948482…

Znana zasada złotego podziału polega na tym, że dowolna całość do części większej ma się tak samo jak część większa do części mniejszej. Zależność ta jest wyrażana liczbą złotego podziału – Φ.

Jeśli założymy, że długość odcinka jest równa a, a długość pierwszej z dwóch części odcinka otrzymanych po podziale oznaczymy przez x, to długość drugiej części wynosi a – x. Wtedy to zachodzi równość:

ax =xax

Po zastosowaniu własności proporcji i uporządkowaniu otrzymujemy równanie: 
x2 + ax – a2 = 0, którego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba: x=a(5√−1)2 
Po podstawieniu w miejsce x do powyższej proporcji otrzymane rozwiązanie i po przeprowadzeniu kilku przekształceń algebraicznych otrzymujemy, że stosunek ax jak i stosunek xax jest taki sam i wynosi 5√+12

Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze.

Obecnie złoty podział jest też często stosowany, wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

własności: Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.

Liczby kwadratowe

Liczby kwadratowe są szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy „wypełnić kwadrat”.

Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem:
kn = n2 = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), 

gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych.

Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat
1 + 3 = 22

1 + 3 + 5 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 42

 

n kn
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225
16 256
17 289
18 324
19 361
20 400
21 441
22 484
23 529
24 576
25 625
26 676
27 729
28 784
29 841
30 900
31 961
32 1024
33 1089
34 1156
35 1225
36 1296
37 1369
38 1444
39 1521
40 1600
41 1681
42 1764
43 1849
44 1936
45 2025
46 2116
47 2209
48 2304
49 2401
50 2500
51 2601
52 2704
53 2809
54 2916
55 3025
56 3136
57 3249
58 3364
59 3481
60 3600
61 3721
62 3844
63 3969
64 4096
65 4225
66 4356
67 4489
68 4624
69 4761
70 4900
71 5041
72 5184
73 5329
74 5476
75 5625
76 5776
77 5929
78 6084
79 6241
80 6400
81 6561
82 6724
83 6889
84 7056
85 7225
86 7396
87 7569
88 7744
89 7921
90 8100
91 8281
92 8464
93 8649
94 8836
95 9025
96 9216
97 9409
98 9604
99 9801
100 10000

 

 

Liczby doskonałe

Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e: 

Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.

Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.

Pierwsza liczba doskonała to 6.
D6 = { 1, 2, 3, 6 }
6 = 1 + 2 + 3

Druga liczba doskonała to 28. 
D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Te dwie liczby znane były w starożytności. Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat póĽniej. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. PóĽniej liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi.

Liczby trójkątne

Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej.

Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n – 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania?

Oznaczmy przez Tn liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tę nazwano liczbą trójkątną.

Liczba trójkątna jest sumą n  kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: Tn = n(n+1):2

Początkowe liczby trójkątne: 
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, …

Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.

Liczby palindromiczne

Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa.

Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to:    7, 57775, 626, 1111111…

Liczby lustrzane

Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem: 23 – 32;
5693 – 3965

Liczby sfeniczne

Liczby sfeniczne to liczby naturalne, które są iloczynem trzech różnych liczb pierwszych.

Wszystkie liczby sfeniczne mają dokładnie osiem dzielników, wynika to z stąd, że jeśli wyrazimy liczbę sfeniczną jako iloczyn liczb pierwszych n = p · q · r, wówczas zbiór dzielników liczby n  będzie równy: {1, pqrpqprqrn}. 
Poniżej zbiór początkowych liczb sfenicznych:

 

30 = 2 · 3 · 5 
42 = 2 · 3 · 7 
66 = 2 · 3 · 11 
70 = 2 · 5 · 7 
78 = 2 · 3 · 13 
102 = 2 · 3 · 17 
105 = 3 · 5 · 7 
110 = 2 · 5 · 11 
114 = 2 · 3 · 19 
130 = 2 · 5 · 13 
138 = 2 · 3 · 23 
154 = 2 · 7 · 11 
165 = 3 · 5 · 11 
170 = 2 · 5 · 17 
174 = 2 · 3 · 29 
182 = 2 · 7 · 13 
186 = 2 · 3 · 31 
190 = 2 · 5 · 19 
195 = 3 · 5 · 13 
222 = 2 · 3 · 37

 

mgr Edyta Madetko-Wanatowicz

SOFIZMATY & PARADOKSY

150 150 Arkadiusz

Sofizmaty

Poniżej przedstawione są pewne rozumowania, w konsekwencji których dochodzimy do sprzeczności. W każdym z tych rozumowań jest ukryty błąd, spróbuj go znaleźć.

Zero jest większe od każdej liczby

Weźmy dowolną liczbę i oznaczmy ją literą a. Prawdziwe jest zatem a – 1 < a. Mnożymy obie strony równości przez (-a) i otrzymujemy: –a2 + a = –a2. Dodajemy do obu stron nierówności a2, wówczas a < 0. Jak to?

 

Niepewny wynik

Oto równanie: x – 1 = 2
Mnożymy obie strony równania przez x – 5:
x2 – 6x + 5 = 2x – 10
Następnie odejmujemy od obu stron liczbę x – 7 i otrzymujemy
x2 – 7x + 12 = x – 3
Dzielimy obie strony przez x – 3:
x – 4 = 1
Teraz dodajemy do obu stron 4 i otrzymujemy, że x = 5, co jest oczywistym błędem. Rozumowanie zdawałoby się było prawidłowe, a jednak rezultat jest błędny. Dlaczego?

 

1 = 2

3 – 1 = 6 – 4
Obie strony równości mnożymy przez (-1)
1 – 3 = 4 – 6
Do obu stron równości dodajemy jednakowe liczby:
1−3+94=4−6+94
Obie strony równości można zapisać jako kwadrat dwóch różnic:
(1−32)2=(2−32)2
Wyciągamy pierwiastek drugiego stopnia z obu stron:
1−32=2−32
Do obu stron dodajemy tę samą liczbę – trzy drugie i otrzymujemy wówczas, że 1 = 2.

Jak to możliwe?

 

Paradoksy

Paradoks Achilles i żółw

Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala mu się oddalić o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu „ucieknie” pokonując 3/4+1/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie przegoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej. 

Jak wyjaśnić paradoks Zenona? W świecie rzeczywistym nie można dzielić odcinków w nieskończoność. Wszystkie zjawiska zachodzące w nim są ciągłe, a nie punktowe jak w ujęciu Zenona.

 

Paradoks Epimenidesa – kłamcy

Pewien człowiek twierdzi: ja zawsze kłamię. Jeśli zadamy sobie pytanie, czy jest on kłamcą czy też twierdzi prawdę dojdziemy niechybnie do sprzeczości. Jeśli kłamie, to stwierdzając ja zawsze kłamię wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie.

 

Paradoks fryzjera

W pewnym mieście jest fryzjer, który goli wszystkich mężczyzn, którzy nie golą się sami, natomiast nie goli tych mężczyzn, którzy golą się sami. Czy ów fryzjer goli się sam? Jeśli goli się sam, to nie może golić się sam, a jeśli należy do mężczyzn, którzy nie golą się sami, to goli się sam!

 

mgr Edyta Madetko-Wanatowicz

Konkurs matematyczny

150 150 admin

Środa, czwarta godzina lekcyjna…. 10 dwuosobowych drużyn z naszych gimnazjalnych klas przystąpiło do Świątecznego Matematycznego Konkursu. Nie było łatwo, ale było ciekawie. Drużyny rozwiązywały zadania zamknięte, typu prawda- fałsz i zadania z treścią. Liczył się czas i dobra odpowiedź. Zwycięzcami byli wszyscy, ale największą ilość punktów uzyskała reprezentacja klasy IIIC w składzie Rafał Sowula i Olaf Gaweł. GRATULUJEMY każdej drużynie woli walki. Ze świątecznym pozdrowieniem nauczyciele matematyki w Korczaku.

Kangur matematyczny

150 150 admin

Rok 2016/2017

Udział: 38 uczniów

Sukcesy:

WYRÓŻNIENIE

1.  Bartosz Kurek – IIA – nauczyciel Katarzyna Gawinkowska

2.  Patryk Kilan – IIA – nauczyciel Katarzyna Gawinkowska

3.  Julia Dorobisz – IIIA- – nauczyciel Barbara Jastrzębska

Rok 2015/2016

Udział: 41 uczniów

Sukcesy:

WYNIK BARDZO DOBRY:

1.   Julia Dorobisz – II A- – nauczyciel Barbara Jastrzębska

2.   Jakub Sacewicz – II A – nauczyciel Barbara Jastrzębska

WYRÓŻNIENIE:

1.  Patryk Kilan – I A – nauczyciel Katarzyna Gawinkowska

  • 1
  • 2
Czym są pliki Cookie

Ciasteczka (ang. cookies) to niewielkie pliki, zapisywane i przechowywane na twoim komputerze, tablecie lub smartphonie podczas gdy odwiedzasz różne strony w internecie. Ciasteczko zazwyczaj zawiera nazwę strony internetowej, z której pochodzi, „długość życia” ciasteczka (to znaczy czas jego istnienia), oraz przypadkowo wygenerowany unikalny numer służący do identyfikacji przeglądarki, z jakiej następuje połączenie ze stroną internetową.

Polityka plików Cookie

1. W związku z udostępnianiem zawartości serwisu internetowego korczak.edu.pl stosuje się tzw. cookies, tj. informacje zapisywane przez serwery na urządzeniu końcowym użytkownika, które serwery mogą odczytać przy każdorazowym połączeniu się z tego urządzenia końcowego, może także używać innych technologii o funkcjach podobnych lub tożsamych z cookies. W niniejszym dokumencie, informacje dotyczące cookies mają zastosowanie również do innych podobnych technologii stosowanych w ramach naszych serwisów internetowych. Pliki cookies (tzw. "ciasteczka") stanowią dane informatyczne, w szczególności pliki tekstowe, które przechowywane są w urządzeniu końcowym użytkownika serwisu internetowego korczak.edu.pl. Cookies zazwyczaj zawierają nazwę domeny serwisu internetowego, z którego pochodzą, czas przechowywania ich na urządzeniu końcowym oraz unikalny numer.

2. Pliki cookies wykorzystywane są w celu:

Dostosowania zawartości stron serwisu internetowego do preferencji użytkownika oraz optymalizacji korzystania ze stron internetowych; w szczególności pliki te pozwalają rozpoznać urządzenie użytkownika serwisu internetowego i odpowiednio wyświetlić stronę internetową, dostosowaną do jego indywidualnych potrzeb, tworzenia statystyk, które pomagają zrozumieć, w jaki sposób użytkownicy serwisu korzystają ze stron internetowych, co umożliwia ulepszanie ich struktury i zawartości, utrzymania sesji użytkownika serwisu internetowego (po zalogowaniu), dzięki której użytkownik nie musi na każdej podstronie serwisu ponownie wpisywać loginu i hasła, dostarczania użytkownikom treści reklamowych bardziej dostosowanych do ich zainteresowań.

3. W ramach serwisu internetowego możemy stosować następujące rodzaje plików cookies:

"niezbędne" pliki cookies, umożliwiające korzystanie z usług dostępnych w ramach serwisu internetowego, np. uwierzytelniające pliki cookies wykorzystywane do usług wymagających uwierzytelniania w ramach serwisu,
pliki cookies służące do zapewnienia bezpieczeństwa, np. wykorzystywane do wykrywania nadużyć w zakresie uwierzytelniania w ramach serwisu, pliki cookies, umożliwiające zbieranie informacji o sposobie korzystania ze stron internetowych serwisu, "funkcjonalne" pliki cookies, umożliwiające "zapamiętanie" wybranych przez użytkownika ustawień i personalizację interfejsu użytkownika, np. w zakresie wybranego języka lub regionu, z którego pochodzi użytkownik, rozmiaru czcionki, wyglądu strony internetowej itp., "reklamowe" pliki cookies, umożliwiające dostarczanie użytkownikom treści reklamowych bardziej dostosowanych do ich zainteresowań.

4. W wielu przypadkach oprogramowanie służące do przeglądania stron internetowych (przeglądarka internetowa) domyślnie dopuszcza przechowywanie plików cookies w urządzeniu końcowym użytkownika. Użytkownicy serwisu mogą dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących plików cookies. Ustawienia te mogą zostać zmienione w szczególności w taki sposób, aby blokować automatyczną obsługę plików cookies w ustawieniach przeglądarki internetowej bądź informować o ich każdorazowym zamieszczeniu w urządzeniu użytkownika serwisu internetowego. Szczegółowe informacje o możliwości i sposobach obsługi plików cookies dostępne są w ustawieniach oprogramowania (przeglądarki internetowej). Niedokonanie zmiany ustawień w zakresie cookies oznacza, że będą one zamieszczone w urządzeniu końcowym użytkownika, a tym samym będziemy przechowywać informacje w urządzeniu końcowym użytkownika i uzyskiwać dostęp do tych informacji.

5. Wyłączenie stosowania cookies może spowodować utrudnienia korzystanie z niektórych usług w ramach naszych serwisów internetowych, w szczególności wymagających logowania. Wyłączenie opcji przyjmowania cookies nie powoduje natomiast braku możliwości czytania lub oglądania treści zamieszczanych w serwisie internetowym korczak.edu.pl z zastrzeżeniem tych, do których dostęp wymaga logowania.

6. Pliki cookies mogą być zamieszczane w urządzeniu końcowym użytkownika serwisu internetowego korczak.edu.pl, a następnie wykorzystywane przez współpracujących z serwisem reklamodawców, firmy badawcze oraz dostawców aplikacji multimedialnych.
Ta strona używa plików Cookies. Dowiedz się więcej o celu ich używania i możliwości zmiany ustawień Cookies w przeglądarce.