GWIAZDA PITAGOREJSKA
Umiłowaną figurą geometryczną pitagorejczyków był pentagram, zwany również gwiazdą pitagorejską. Jest to prawidłowy pięciokąt, którego boki przedłużone w obie strony tworzą pięciokąt gwiaździsty. Znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali, kreśląc go na piasku.
Gwiazda pitagorejska posiada właściwości wyróżniające ją spośród innych gwiazd. Suma kątów wewnętrznych pentagramu równa jest kątowi półpełnemu (180°). Promienie gwiazdy pitagorejskiej „tworzą” trójkąty równoramienne z dwoma kątami u podstawy 72° i kątem przy wierzchołku równym 36°. Możemy doszukać się więc trójkątów podobnych, z których wynika, że długość odcinka a + b równa jest długości odcinka c.
Odcinek a + b jest przykładem złotej proporcji, czyli taki podział odcinka na dwie części, że większa część do mniejszej ma się tak samo jak całość do części wększej. Takie złote cięcia odnajdujemy we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej.
HISTORIA LICZB
| 30 000 p.n.e. | Obecność nacięć numerycznych |
| 3300 p.n.e | Pierwsze cyfry w Sumerze i Elamie. Pojawienie hieroglifów egipskich – pierwsza numeracja pisma |
| 2700 p.n.e | Sumeryjckie cyfry klinowe |
| 2600 p.n.e | Pojawienie się cyfr egipskich |
| 2000 p.n.e | Pojawienie się bazy dziesiętnej |
| 1800 p.n.e | Numeracja babilońska – pierwsza numeracja pozycyjna |
| 1300 p.n.e | Pojawienie się cyfr chińskich |
| VI w. p.n.e | Odkrycie wartości niewymiernych. Pitagoras |
| III w. p.n.e | Grecka numeracja alfabetyczna Pojawienie się zera w numeracji babilońskiej |
| II w. p.n.e | Chińska numeracja pozycyjna bez zera Pojawienie się cyfr brahmi – indyjskich |
| IV w. n.e | Indyjska numeracja pozycyjna. Numeracja dziesiętna z zerem. |
| V w. n.e | Numeracja pozycyjna Majów z zerem |
| VIII w. n.e | Wprowadzenie indyjskiej dziesiętnej numeracji pozycyjnej i zera na ziemiach islamu. |
| XII w. | Wprowadzenie znaku zero na Zachodzie |
| XIII w. | Pojawia się pojęcie ciągu. Fibonacci |
| XV w. | Cyfry indyjsko-arabskie uzyskują formę graficzną i rozpowszechniają się na Zachodzie |
| XVI w. | Początki używania ułamków okresowych. Bombelli. Bombelli i Cardan formuują pojęcie liczb zespolonych |
| 1638 r. | Sformuowanie pojęcia zbioru nieskończonego. Galileusz |
| 1797 r. | Gauss przedstawia liczby zespolone jako punkty na płaszczyĽnie |
| 1820 r. | Zostaje sformuowana moc zbioru. Bolzano |
| 1825 r. | Odkrycie liczb algebraicznych. Abel |
| 1843 r. | Odkrycie kwaternionów. Hamilton |
| 1844 r. | Odkrycie liczb przestępnych. Liouville |
LICZBY
Co jest najmądrzejsze? Liczba.
Co jest najpiękniejsze? Harmonia.
Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią.
To słynna sentencja wypowiedziana przez Pitagorasa. Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków. Ten poetycki werset pokazuje jak wielkie znaczenie przypisywano liczbie już w starożytności. Niektóre liczby, z którymi spotykamy się w różnych sytuacjach, mają zaskakujące właściwości i wprawiają nas w zadziwienie a nawet zachwyt.
Liczba zero
Liczba pi
Liczba e
Liczba i
Liczba złota
Liczby Fibonacciego
Liczby Lucasa
Liczby trójkątne
Liczby kwadratowe
Liczby doskonałe
Liczby zaprzyjaźnione
Liczby gnomiczne
Liczby palindromiczne
Liczby lustrzane
Liczby sfeniczne
Liczba zero
Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Liczbę i oznaczającą ją cyfrę zero wprowadzili Hindusi. Całość systemu pozycyjnego o podstawie 10, z dziesięcioma cyframi i metodami wykonywania działań została opisana przez Dżainistów w 458 roku. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który opisał je w 628 r. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich – stosowano łacińskie słowo nullae.
Nazwa „zero” o podobnym brzmieniu w większości języków europejskich pochodzi od arabskiego słowa „sifr” co oznacza pustka. W wydanej po raz pierwszy w 1202 roku „Liber abaci”, z której Europejczycy uczyli się liczyć, Leonardo z Pizy zwany Fibonacci używał odpowiednika „zephirum” dla arabskiego „sifr”. Słowo upraszczało się przez „zefiro” do „zero”, które weszło w użycie w V w.
Liczba Pi
Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości 5 łokci i o obwodzie 30 łokci. Biblia Tysiąclecia
π≈3,141592653589793238462643383279502884197169…
Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych – papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako (169)2≈3,160493… W III wieku przed Chrystusem, Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między 3+1071 i 3+17. Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.
Czym jest π? Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415… Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Rodzi się pytanie: jakiego rodzaju to liczba?. Ostatecznie w roku 1882 niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann rozstrzygnął podstawowy problem dotyczący liczby i wykazał, że π jest liczbą przestępną czyli taką, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się „byle jak”, nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy.
Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa, a spopularyzował go Leonhard Euler używając tego zapisu w dziele Analiza. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa „peryferia„. Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Popularność liczba pi zawdzięcza występowaniu swoim we wzorach na pole koła czy objętości kuli,
Liczba e
Liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach aniżeli bardziej znana liczba pi. W starożytności nie znano jej, pojawiła się dopiero w XVI wieku za sprawą szkockiego matematyka Johna Napiera (Nepera), który ułożył tablice logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy bowiem wymyślono, aby zamienić mnożenie na dodawanie. Przez setki lat, cudowna własność logarytmów, dzięki której z pomocą tablic lub dwóch linijek z logarytmiczną skalą – można było dodawać zamiast mnożyć, ułatwiała astronomom życie. Dziś, w epoce komputerów, zastosowanie logarytmów do monożenia ma mniejsze znaczenie praktyczne.
Liczbę e definiujemy jako granicę e =limn→∞(1+1n)n
Granica ta zbliża się do 2.718281828459045235360287…, liczby niewymiernej i niealgebraicznej. W 1873 roku Charles Hermite pokazał, że e jest przestępna.
Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera (Napera), oznaczenie „e” wprowadził w 1736 roku Leonhard Euler, który badał różne liczby i oznaczał je literami alfabetu. Na tę liczbą wypadło akurat e.
Występowanie liczby e: Liczbę Napiera można spotkać w bankowości. Inwestując pewną sumę pieniędzy w banku na p% po roku zwiększamy jej wartość i tak dla zainwestowanej 1 złotówki mamy (1+p100) złotych. Po n latach wzrasta do (1+p100)n złotych. Mieliśmy szczęście i bankier zaproponował nam ogromną stopę procentową, sto procent. Zainwestowaliśmy więc wszystkie nasze oszczędności, oznaczmy je przez x. Po roku będziemy bogatsi, podwoimy nasz wkład, otrzymamy 2x. Jest jednak możliwość otrzymania swoich odsetek w dowolnym czasie i ponowne ich zainwestowanie. Jeśli odbierzemy odsetki po sześciu miesiącach i ponownie je zainwestujemy, to po roku otrzymamy x(1 + 1/2)2 = 2,25x. Odbierając odsetki kwartalnie jeszcze bardziej zwiększamy nasz zysk, po roku mielibyśmy x(1 + 1/4)4 = 2,441x. Miesięczne pobieranie odsetek i ponowne inwestowanie wzbogaca nas jeszcze bardziej: x(1 + 1/12)12 = 2,5996x. Potem codziennie – znowu więcej, co minutę, sekundę – jeszcze więcej, jeszcze trochę i będziemy bogaci. Nic z tego, nasze procenty składane mogą się mnożyć, ale przy końcu otrzymamy dokładnie wartość liczby e czyli około 2,7182x.
Funkcję wykładniczą można odnaleźć w przyrodzie i w społeczeństwie, gdzie odwzorowuje rozwój rośliny, rozwój danej populacji. Ogólnie jeśli stopień rozwoju jest proporcjonalny do stanu rozwoju, to mamy do czynienia z funkcją wykładniczą.
Liczba i
Spróbujmy rozwiązać równanie x2 + 1 = 0. Jeśli ma ono rozwiązanie, musi być nim liczba, której kwadrat wynosi -1, ale kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest dodatni. Wydaje się więc, że brak jest rozwiązań tego równania. Jeśli chcemy, by mimo wszystko powyższe równanie miało jakieś rozwiązanie, trzeba wymyślić jakieś nowe liczby, których kwadrat byłby ujemny. Czy takie liczby mogą być „realne”? Mogą, pod warunkiem, że ich pojawienie się nie zagrozi bytów już istniejących.
Takie liczby zostały wprowadzone przez Kartezjusza w XVII wieku, choć wcześniej operował nimi już Girolamo Cardano. Tak powstał nowy byt matematyczny, którego nazwano imaginarius – liczby wyimaginowane, urojone. Zostały wprowadzone po to, by uzyskać kwadrat ujemny! W 1777 roku Leonhard Euler wprowadził symbol i, który oznacza jednostkę urojoną wynoszącą pierwiastek z minus jeden. I tym właśnie jest i – pierwiastkiem z minus jeden.
Liczba złota
Wielki astronom Kepler powiedział:
Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi – podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny.
Φ=5√+12=1,6180339887498948482…
Znana zasada złotego podziału polega na tym, że dowolna całość do części większej ma się tak samo jak część większa do części mniejszej. Zależność ta jest wyrażana liczbą złotego podziału – Φ.
Jeśli założymy, że długość odcinka jest równa a, a długość pierwszej z dwóch części odcinka otrzymanych po podziale oznaczymy przez x, to długość drugiej części wynosi a – x. Wtedy to zachodzi równość:
ax =xa−x
Po zastosowaniu własności proporcji i uporządkowaniu otrzymujemy równanie:
x2 + ax – a2 = 0, którego jedynym dodatnim rozwiązaniem jest liczba: x=a(5√−1)2
Po podstawieniu w miejsce x do powyższej proporcji otrzymane rozwiązanie i po przeprowadzeniu kilku przekształceń algebraicznych otrzymujemy, że stosunek ax jak i stosunek xa−x jest taki sam i wynosi 5√+12
Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze.
Obecnie złoty podział jest też często stosowany, wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.
własności: Aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.
Liczby kwadratowe
Liczby kwadratowe są szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy „wypełnić kwadrat”.
Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem:
kn = n2 = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1),
gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych.
Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
| n | kn |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
| 8 | 64 |
| 9 | 81 |
| 10 | 100 |
| 11 | 121 |
| 12 | 144 |
| 13 | 169 |
| 14 | 196 |
| 15 | 225 |
| 16 | 256 |
| 17 | 289 |
| 18 | 324 |
| 19 | 361 |
| 20 | 400 |
| 21 | 441 |
| 22 | 484 |
| 23 | 529 |
| 24 | 576 |
| 25 | 625 |
| 26 | 676 |
| 27 | 729 |
| 28 | 784 |
| 29 | 841 |
| 30 | 900 |
| 31 | 961 |
| 32 | 1024 |
| 33 | 1089 |
| 34 | 1156 |
| 35 | 1225 |
| 36 | 1296 |
| 37 | 1369 |
| 38 | 1444 |
| 39 | 1521 |
| 40 | 1600 |
| 41 | 1681 |
| 42 | 1764 |
| 43 | 1849 |
| 44 | 1936 |
| 45 | 2025 |
| 46 | 2116 |
| 47 | 2209 |
| 48 | 2304 |
| 49 | 2401 |
| 50 | 2500 |
| 51 | 2601 |
| 52 | 2704 |
| 53 | 2809 |
| 54 | 2916 |
| 55 | 3025 |
| 56 | 3136 |
| 57 | 3249 |
| 58 | 3364 |
| 59 | 3481 |
| 60 | 3600 |
| 61 | 3721 |
| 62 | 3844 |
| 63 | 3969 |
| 64 | 4096 |
| 65 | 4225 |
| 66 | 4356 |
| 67 | 4489 |
| 68 | 4624 |
| 69 | 4761 |
| 70 | 4900 |
| 71 | 5041 |
| 72 | 5184 |
| 73 | 5329 |
| 74 | 5476 |
| 75 | 5625 |
| 76 | 5776 |
| 77 | 5929 |
| 78 | 6084 |
| 79 | 6241 |
| 80 | 6400 |
| 81 | 6561 |
| 82 | 6724 |
| 83 | 6889 |
| 84 | 7056 |
| 85 | 7225 |
| 86 | 7396 |
| 87 | 7569 |
| 88 | 7744 |
| 89 | 7921 |
| 90 | 8100 |
| 91 | 8281 |
| 92 | 8464 |
| 93 | 8649 |
| 94 | 8836 |
| 95 | 9025 |
| 96 | 9216 |
| 97 | 9409 |
| 98 | 9604 |
| 99 | 9801 |
| 100 | 10000 |
Liczby doskonałe
Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e:
Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.
Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.
Pierwsza liczba doskonała to 6.
D6 = { 1, 2, 3, 6 }
6 = 1 + 2 + 3
Druga liczba doskonała to 28.
D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Te dwie liczby znane były w starożytności. Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat póĽniej. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. PóĽniej liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi.
Liczby trójkątne
Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej.
Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n – 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania?
Oznaczmy przez Tn liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tę nazwano liczbą trójkątną.
Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: Tn = n(n+1):2
Początkowe liczby trójkątne:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, …
Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.
Liczby palindromiczne
Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa.
Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: 7, 57775, 626, 1111111…
Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem: 23 – 32;
5693 – 3965
Liczby sfeniczne
Liczby sfeniczne to liczby naturalne, które są iloczynem trzech różnych liczb pierwszych.
Wszystkie liczby sfeniczne mają dokładnie osiem dzielników, wynika to z stąd, że jeśli wyrazimy liczbę sfeniczną jako iloczyn liczb pierwszych n = p · q · r, wówczas zbiór dzielników liczby n będzie równy: {1, p, q, r, pq, pr, qr, n}.
Poniżej zbiór początkowych liczb sfenicznych:
30 = 2 · 3 · 5
42 = 2 · 3 · 7
66 = 2 · 3 · 11
70 = 2 · 5 · 7
78 = 2 · 3 · 13
102 = 2 · 3 · 17
105 = 3 · 5 · 7
110 = 2 · 5 · 11
114 = 2 · 3 · 19
130 = 2 · 5 · 13
138 = 2 · 3 · 23
154 = 2 · 7 · 11
165 = 3 · 5 · 11
170 = 2 · 5 · 17
174 = 2 · 3 · 29
182 = 2 · 7 · 13
186 = 2 · 3 · 31
190 = 2 · 5 · 19
195 = 3 · 5 · 13
222 = 2 · 3 · 37
mgr Edyta Madetko-Wanatowicz