Sofizmaty

Poniżej przedstawione są pewne rozumowania, w konsekwencji których dochodzimy do sprzeczności. W każdym z tych rozumowań jest ukryty błąd, spróbuj go znaleźć.

Zero jest większe od każdej liczby

Weźmy dowolną liczbę i oznaczmy ją literą a. Prawdziwe jest zatem a – 1 < a. Mnożymy obie strony równości przez (-a) i otrzymujemy: –a² + a = –a². Dodajemy do obu stron nierówności a², wówczas a < 0. Jak to?

 

Niepewny wynik

Oto równanie: x – 1 = 2
Mnożymy obie strony równania przez x – 5:
x² – 6x + 5 = 2x – 10
Następnie odejmujemy od obu stron liczbę x – 7 i otrzymujemy
x² – 7x + 12 = x – 3
Dzielimy obie strony przez x – 3:
x – 4 = 1
Teraz dodajemy do obu stron 4 i otrzymujemy, że x = 5, co jest oczywistym błędem. Rozumowanie zdawałoby się było prawidłowe, a jednak rezultat jest błędny. Dlaczego?

 

1 = 2

3 – 1 = 6 – 4
Obie strony równości mnożymy przez (-1)
1 – 3 = 4 – 6
Do obu stron równości dodajemy jednakowe liczby:
1−3+94=4−6+94
Obie strony równości można zapisać jako kwadrat dwóch różnic:
(1−32)2=(2−32)2
Wyciągamy pierwiastek drugiego stopnia z obu stron:
1−32=2−32
Do obu stron dodajemy tę samą liczbę – trzy drugie i otrzymujemy wówczas, że 1 = 2.

Jak to możliwe?

 

Paradoksy

Paradoks Achilles i żółw

Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala mu się oddalić o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu „ucieknie” pokonując 3/4+1/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie przegoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej. 

Jak wyjaśnić paradoks Zenona? W świecie rzeczywistym nie można dzielić odcinków w nieskończoność. Wszystkie zjawiska zachodzące w nim są ciągłe, a nie punktowe jak w ujęciu Zenona.

 

Paradoks Epimenidesa – kłamcy

Pewien człowiek twierdzi: ja zawsze kłamię. Jeśli zadamy sobie pytanie, czy jest on kłamcą czy też twierdzi prawdę dojdziemy niechybnie do sprzeczości. Jeśli kłamie, to stwierdzając ja zawsze kłamię wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie.

 

Paradoks fryzjera

W pewnym mieście jest fryzjer, który goli wszystkich mężczyzn, którzy nie golą się sami, natomiast nie goli tych mężczyzn, którzy golą się sami. Czy ów fryzjer goli się sam? Jeśli goli się sam, to nie może golić się sam, a jeśli należy do mężczyzn, którzy nie golą się sami, to goli się sam!

 

mgr Edyta Madetko-Wanatowicz